viernes, 19 de junio de 2015

La solución

Vamos a resolver el problema de las matrículas suscitado en los dos posts anteriores:

Las posibles combinaciones de 4 cifras: obviamente son 10.000, desde el 0000 al 9999.

Ahora viene lo lioso: ¿cuántas de esos 10.000 números suman 14? Lo primero es identificar todos los grupos de 4 cifras (no tenemos en cuenta de momento el orden) que suman 14. Es un pasatiempo combinatorio un poco pesado, que se puede enfocar así:
- los que llevan algún 9:  9-5-0-0   9-4-1-0   9-3-2-0   9-2-2-1   9-3-1-1.
- los que llevan algún 8:  8-6-0-0   8-5-1-0   8-4-2-0   8-4-1-1   8-3-3-0   8-3-2-1   8-2-2-2.
... y así sucesivamente, cuidando de no repetir grupos que ya hayan salido previamente.
En total, he contado 37 grupos diferentes de 4 cifras que suman 14.
Pero cada uno de esos 37 grupos puede aparecer ordenado de formas varias. 
Por ejemplo, para el grupo 9-5-0-0: 9500, 9050, 9005, etc. Esas posibles ordenaciones de unos elementos prefijados se conocen como permutaciones.
La cosa se complica un poco porque el número de permutaciones de 4 cifras cambia según que haya repeticiones de ellas o no. Por ejemplo: cuando las 4 cifras son diferentes, salen 24 permutaciones; cuando una cifra se repite 2 veces, salen 12; cuando una cifra se repite 3 veces,salen 4; y cuando dos cifras se repiten 2 veces cada una, salen 6. Para saber estos números existen la "fórmula de las permutaciones con repetición".
Teniendo en cuenta todos estos detalles, obtengo que esos 37 grupos de cifras, reordenándolas, dan lugar a 576 números diferentes.

Entonces, la probabilidad de que la matrícula de un coche sume 14 es: 576 dividido entre 10.000. Es decir: 0,0576. O, dicho de otra forma, un 5,76%. No es una probabilidad despreciable.

Pero claro, que ocurra eso con 5 coches... "tiene tela". Su probabilidad es: 0,0576 elevado a la 5ª potencia (la probabilidad de que ocurran a la vez varios sucesos independientes entre si se obtiene multiplicando sus probabilidades). El resultado es ínfimo: 0,000000634.

En conclusión: la probabilidad de que por azar ocurra lo que se ve en la foto es de 6 entre 10 millones. ¿A que encontrar esos coches juntos es algo extraordinario?

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